Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1)) = 2$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n-1,0) + A(n+1,0) = A(2018,0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că există un număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x,1) \cdot A(x,1) = A(a,-2)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = X^3 - 7X^2 + mX - 8$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1) + P(1) = -30$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P(X)$ la $\displaystyle X-2X+1$, știind că $\displaystyle P(X)$ se divide cu $\displaystyle X-2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle P(X)$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 0$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este egal cu $\displaystyle \frac{97\pi}{10}$.

c) Determinați numărul $\displaystyle m \in (1, \infty)$, știind că $\displaystyle \int_1^m (f(x)-x^2)dx = \frac{1}{2}$.