Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} x+1 & 0 & x+2 \\ 0 & x & 0 \\ 3-x & 0 & 4-x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(M(-1))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x) + M(y) = M(0) + M(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, ştiind că suma elementelor matricei $\displaystyle M(m) \cdot M(1)$ este egală cu suma elementelor matricei $\displaystyle M(1) \cdot M(n)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 4xy - 4x - 4y + 5$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 4(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle x * x * x = 4^2(x-1)^3+1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=5 \ln x - x^2 - 3x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(1-x)(2x+5)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5 \ln x \le x^2+3x-4$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2+4x+5)e^x$.

a) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2e^x-5e^x) dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-3}^{-1} \frac{e^x}{x^2} dx \le \frac{e^{-2}-1}{-3}$.