Se consideră determinantul $\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & 2 \\ 1 & 2-x & 3 \\ 1 & 2 & x \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle D(1)=5$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr întreg $\displaystyle p$, $\displaystyle p \neq 6$, numărul $\displaystyle D(p)$ este divizibil cu $\displaystyle 6-p$.

c) Determinați valoarea maximă pe care o poate lua $\displaystyle D(n)$, atunci când $\displaystyle n$ este număr natural.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & x+1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle B(1)+B(3)=2B(2)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(x) = B(x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3-8x^2+16x}{f(x)}$.

c) Demonstrați că pentru orice număr real $\displaystyle a, a>0$, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{f(x+a)} - \frac{1}{f(x)} \right)$ nu depinde de $\displaystyle a$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2-2, & x \in (-\infty, 1] \\ \ln x+m, & x \in (1,+\infty) \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Pentru $\displaystyle m \leq 0$, demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este surjectivă.