Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = I_2 + aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a)M(b) = M(a+b+4ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(a)M(a) = M(2)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = 5xy - 5x - 5y + 6$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = 5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x \leq x$.

c) Calculați $\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*...*(-2018)*2019$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+6x+9}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+x+3}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \leq (x+3)^2e^x \leq 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x^3}$, axa $\displaystyle Ox$, dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a^2$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 5$.