Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1+4a & -6a \ 2a & 1-3a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(m)A(n)=A(2)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y=2xy-2x-2y+3$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y=2(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \leq 9$.

c) Calculați $\displaystyle 1^\circ \circ 2^\circ \circ 3^\circ \circ \dots \circ 2019^\circ$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln x^e$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle e^x=x^e$ are exact o soluție în $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{3}{e^2}-\frac{6}{e}$.

b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 2$, știind că $\displaystyle \int_1^a \frac{2}{x^3 f(x)} dx = 3 \ln 2$.