Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = 17$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(2019-a) + A(2019+a) = 2A(2019)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A(x)A(y) = 2A(-8)$.

Pe mulțimea $\displaystyle G = (-2,2)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{4x+4y}{4+xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

b) Determinați $\displaystyle x \in G$, pentru care $\displaystyle x * x = \frac{8}{5}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to G$, $\displaystyle f(x) = \frac{2(x-1)}{x+1}$. Demonstrați că $\displaystyle f(xy) = f(x) * f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x - \frac{1}{x+1} - 2\ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2}{x+1} - \frac{2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+ \cos x) \leq \cos x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \pi)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+3}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)e^x - 3) dx = 6$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe intervalul $\displaystyle [-3, +\infty)$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=n$ are aria egală cu $\displaystyle 4-6e^{-n}$.