Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 3 & 2a-1 & 1 \\ a-3 & a & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+ay+z=1 \\ 3x+(2a-1)y+z=1 \\ (a-3)x+ay+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=-5$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinaţi soluţiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $\displaystyle x \ast y = 5xy - 5x - 5y + 6$.

a) Demonstraţi că $\displaystyle x \ast y = 5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinaţi valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = x$.

c) Determinaţi numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{n^2} \ast \frac{1}{(n+1)^2} \ast \frac{1}{(n+2)^2} \ast \dots \ast \frac{1}{(n+2019)^2} = -19$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x-1}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinaţi abscisa punctului situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcţiei $\displaystyle f$ este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie $\displaystyle y=x$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(\frac{\pi}{2}) < 0$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=12$.

b) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

c) Demonstraţi că există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{f(t)}dt = x$.