1. Arătați că numărul $\displaystyle (\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}+1)^2$ este întreg.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(2m-1)x-5$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle |f(1)|=4$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{2x+3}=3x+2$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(2,1)$ și $\displaystyle C(0,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle AC \perp OB$.

6. Determinați măsura unghiului $\displaystyle A$ al triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle BC=6\sqrt{2}$, $\displaystyle AC=12$ și $\displaystyle m(\sphericalangle B)=45^\circ$.

1. Calculați $\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{4}$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = (x-2)(y-2)+2$. Calculati $\displaystyle 1*2*3$.

3. Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^{x^2}=4^x$.

5. Determinați valorile reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x(x+1) \le 8$.

6. Calculați $\displaystyle 1*\sqrt{2}*\sqrt{3}*...*\sqrt{10}$.

Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = M+2aI_2$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

1. Calculați $\displaystyle \det M$ .

2. Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(A(a))=7$.

3. Arătați că $\displaystyle M \cdot A(a) = A(a) \cdot M$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

4. Determinați inversa matricei $\displaystyle A(-1)$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$, pentru care suma elementelor matricei $\displaystyle A(\log_2 a)$ este egală cu $\displaystyle 37$.

6. Demonstrați că, pentru orice număr întreg $\displaystyle m$, numărul $\displaystyle \det(A(m))$ este natural impar.