Arătați că $\displaystyle 4\sqrt{5} - \sqrt{75} + \sqrt{108} - \sqrt{3}^3 + \sqrt{25} - \sqrt{80} = 5$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + a$, unde $\displaystyle a$ este număr real, pentru care $\displaystyle f(1) = 8$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{2x-1} = x-1$.

Determinați câte numere naturale de două cifre pot fi formate cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = x - 2$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ de intersecție a axei $\displaystyle Ox$ cu dreapta $\displaystyle d$ cu axa $\displaystyle Oy$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB = 6$, $\displaystyle AC = 8$ și $\displaystyle BC = 10$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

Pe mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = x+y+xy$. Arătați că $\displaystyle (-1)*3 = -1$.

Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Verificați dacă $\displaystyle e=0$ este element neutru al legii de compoziție $\displaystyle *,*$.

Verificați dacă $\displaystyle -\frac{1}{2}$ este simetricul lui $\displaystyle 1$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *,*$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația $\displaystyle n*3 \ge 6$.

Determinați mulțimea numerelor naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n^n) < 32$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-2a & 2a \\ -3a & 1+3a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

Arătați că $\displaystyle A(0) = I_2$.

Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(2) = A(5)$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

Demonstrați că $\displaystyle A(-1) \cdot A(a) = A(-1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n^n) < 32$.