1. Arătați că $\displaystyle 2\sqrt{3}-\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}+\sqrt{4-12}=2$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+7$. Calculați $\displaystyle f(a)$, unde $\displaystyle a=f(3)-f(1)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2x^2+4x+1=x+1$.

4. După două ieftiniri succesive cu câte $\displaystyle 50\%$, un obiect costă $\displaystyle 100$ de lei. Calculați prețul inițial al obiectului.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(2,-2)$, $\displaystyle N(-2,0)$ și $\displaystyle P(0,-4)$. Determinați lungimea medianei din vârful $\displaystyle M$ al triunghiului $\displaystyle MNP$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC=10$ și $\displaystyle m(\angle B)=30^{\circ}$. Calculați lungimea laturii $\displaystyle AB$.

1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3$. Arătați că $\displaystyle 2*2=3$.

2. Demonstrați că $\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle e=\frac{3}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Verificați dacă $\displaystyle \frac{5}{4}$ este simetricul lui $\displaystyle 2$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+1)*(x-1)=1$.

6. Demonstrați că numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*(n+1)\leq 5$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det A=10$.

2. Arătați că $\displaystyle B \cdot B=6B-3I_2$.

3. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle xA+yB=\begin{pmatrix} 7 & 7 \\ -8 & -3 \end{pmatrix}$.

4. Determinați inversa matricei $\displaystyle B$.

5. Arătați că matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, care verifică egalitatea $\displaystyle A+X=B$, este inversabilă.

6. Demonstrați că $\displaystyle \det(A+aI_2)>0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.