Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & a & 4 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y+az=2 \\ 2x+ay+4z=3 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(3-a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x\circ y = \sqrt{x^2+y^2+1}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x\circ y = \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)-1}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (a,b)$ știind că $\displaystyle a\circ b = 1$.

c) Demonstrați că pentru orice număr natural $\displaystyle n\ge 2$, numărul $\displaystyle \underbrace{1\circ 1\circ \dots \circ 1}_{n \text{ ori}}$ nu este natural.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+2x+2} - x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}} - 1$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x\ln(x+1)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\ln(x+1)} dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{4}$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x)dx$.