Se consideră determinantul $\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} a & 2 & b \\ a & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(0,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(a,1) \geq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă numerele $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt întregi impare, atunci $\displaystyle D(m,n) \neq 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & x & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(-x)+A(x)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)A(y)-A(2xy))=0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle A(1)A(\frac{1}{2})+A(2)A(\frac{1}{4})+...+A(2019)A(\frac{1}{4038})=mI_3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

b) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$ cu $\displaystyle a_n = f(n)$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$ este mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(\sqrt{f(n)}-1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \in (-\infty, 0) \\ \sqrt{x^2+2x}, & x \in [0, +\infty) \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=|a|$ are cel puțin o soluție.