Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a+1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(ab+a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, $\displaystyle a,b>0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$, știind că $\displaystyle A(a)A(a)A(a)=A(7)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=x^3+mx^2-mx+2$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle f(-2)=0$.

b) Pentru $\displaystyle m=1$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Se consideră $\displaystyle a=\frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_3}{x_1x_2}$. Demonstrați că $\displaystyle a \in [3,+\infty)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2+4x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+5x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x \ln^2 x}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=-\frac{1}{\ln x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_e^{e^2} f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>e$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x \ln x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=e$ și $\displaystyle x=a$ are aria egală cu $\displaystyle 2a$.