Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=abI_3 + (a+b)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(0)A(1)A(2) \dots A(2019) = n! A(0)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este asociativă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x-1+\frac{2}{x+1}-\frac{\ln x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{(x+1)^2} - \frac{1-x\ln x}{x(x+1)^2}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră funcțiile $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x-1}{x+1}$ și $\displaystyle h:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x) = \frac{\ln x}{x+1}$. Demonstrați că graficele funcțiilor $\displaystyle g$ și $\displaystyle h$ nu au niciun punct comun.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2+4}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) dx = 0$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x t f(t) dt$.