Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+z=1 \\ x-ay-z=1 \\ x+y+az=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(1-a)(1+a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Pentru $\displaystyle a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere întregi.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = (x-2019)(y-2019)+2019$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast 2019 = 2019$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle x \ast x = x$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m \ast n = 2020$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x}-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x}-2}{2x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{x}-\ln x \geq 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x^2+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 (x^2+9)f(x)dx = 3$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de inflexiune.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^{2n}f(x)dx$. Arătați că $\displaystyle 0 \leq \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.