Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle R=A(\log_2 3) \cdot A(\log_3 4) \cdot A(\log_4 5) \cdot \ldots \cdot A(\log_{15} 16)$ are toate elementele numere întregi.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+X^2+mX+n$, unde $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)-2P(0)+P(1)=2$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X^2-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=1$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(2x-1)e^{x}-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,4e^{-2})$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact trei soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{x}dx=\frac{e^2}{3}$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=2x-x^2+f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ are aria egală cu $\displaystyle e^2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \int_{e^{-1}}^{1} x^n(f(x)-x^2\ln x)dx=0$.