Se consideră matricea $\displaystyle M(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & m & -1 \\ m & 1 & 3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+2y+4z = 5 \\ -x+my-z = -2 \\ mx+y+3z = 4 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0)) = 3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle m=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2 = (x_0+z_0)^2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, $\displaystyle x * y = \frac{1}{2} xy - \frac{3}{2} (x+y) + \frac{9}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = \frac{1}{2}(x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = x$.

c) Demonstrați că nu există niciun număr natural $\displaystyle n$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „*” să fie număr natural.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \ln (x^2+x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x+1)}{x^2+x+1} + \ln(x^2+x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle (a, f(a))$ care este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = \frac{1}{7}x+2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 e^x f(x) dx = 2$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle 2-\frac{2}{e}$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^n x^n f(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n+2)I_n = \frac{1}{e}$.