Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 5A - 3B = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 2 & 16 \end{pmatrix}$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle B$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle xA \cdot A - 8A = yI_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-2)(y-2) + 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

c) Calculați $\displaystyle \log_2 2 * \log_2 3 * \log_2 4 * \dots * \log_2 2018$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-6x+10$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x → 1} \frac{f(x)-5}{x-1} = 3$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(0,9) + f(1,1) \geq 10$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=xe^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{2f(x)}{e^x} dx = e^2-1$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 f(x)f'(x)dx = \frac{e^a}{2}$.