Se consideră determinantul $\displaystyle D(x)=\begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 3 & -1 & x \\ 2 & x & -1 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle D(-2)=16$.

b) Demonstrați că $\displaystyle D(x)=x(x+1)(6-x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(\sqrt{a})=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix} 1 & 2-m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle M(1)+M(3)=2M(2)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(m) \cdot M(n)=M(m+n-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle M(x) \cdot M(x)=M(x^2-1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2,\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x^2-3x+4, & x \in (-\infty, 1) \\ 3x, & x \in [1,\infty) \end{cases}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{x-3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=1+x^3-x^4$. Demonstrați că ecuația $\displaystyle (f+g)(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (0,2)$.