Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Calculați produsul $\displaystyle A \cdot B$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle A \times X = B$, unde $\displaystyle X eq 0$.

Notă: În subiectul dat, litera 'x' apare în enunțul subpunctului b) ca factor pentru matricea B, dar nu este folosită în calculul din barem. Vom presupune că 'x' din enunțul subiectului este o eroare de tipar și vom proceda conform baremului, unde se calculează $\displaystyle A \times B$ direct.

Pe mulțimea numerelor reale $\displaystyle M = \mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 9(x+y) + 90$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-9)(y-9) + 9$ pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție ,

• ".

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle n \ge 9$ sau $\displaystyle n \le 10$ pentru care $\displaystyle (n-8)(n-9) < 0$ și $\displaystyle (n-10)(n-8) < 0$.

Notă: Enunțul subpunctului c) pare a fi o reformulare sau o problemă separată de legea de compoziție, calculând inegalități cu variabile numerice. Vom rezolva conform baremului, care pare să interpreteze problema ca fiind legată de legea de compoziție.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{x^2+2x-3}{(x^2+3)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -1 \le f(x) + \frac{1}{2}f'(x) \le \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Notă: Subpunctul c) pare să aibă o eroare în enunț, menționând $\displaystyle y$ când se referă la funcția $\displaystyle f(x)$ și derivata sa $\displaystyle f'(x)$. Vom rezolva conform baremului, care ignoră $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{e^x}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Fie $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Arătați că $\displaystyle F''(x) = -\frac{1}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx$.

Notă: Subpunctul a) din subiectul dat are o eroare. Derivata funcției $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ este $\displaystyle f'(x) = -e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$. Deci enunțul este corect, am citit greșit inițial. Subpunctul b) cere să se arate că $\displaystyle F''(x) = -\frac{1}{e^x}$, unde $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$. Aceasta ar însemna $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{e^x}$. Dar $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x}$. Deci $\displaystyle f'(x) = -f(x)$. Dacă $\displaystyle F$ este primitivă a lui $\displaystyle f$, atunci $\displaystyle F'=f$. Dacă $\displaystyle F'' = -f$, aceasta este corectă.