Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 16$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B = xI_2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det \left( A + \frac{1}{x} B \right) \ge 49$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 5xy + 15x + 15y + 42$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 5(x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle x \circ y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-3) \circ (x-3) \circ (x-3) = 197$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e \le f(x) \le 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2+1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(x) \ln x dx$.