Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) + A(-m) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(5)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle x * \left(-\frac{2}{3}\right) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * (n-1) < 17$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+6x}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu are puncte de inflexiune.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x+1)f(x)dx=1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \sqrt{e^x}f(x)$.