Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2x \\ -2x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)+A(0))=8$.

c) Știind că $\displaystyle \det(m A(n)+n A(m))=\det(m n A(1))+\det(n m A(1))+18$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$, $\displaystyle n$, determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m<n$.

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_7$, se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy+6x+6y+6$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+6)(y+6)+1$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{Z}_7$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * \hat{1} = \hat{1} * x = \hat{1}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{Z}_7$.

c) Calculați $\displaystyle \hat{0} * \hat{1} * \hat{2} * \hat{3} * \hat{4} * \hat{5} * \hat{6}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^{x^2-6x+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2x-6)e^{x^2-6x+9}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x-3)^2 \le 4\ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty,3]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 3x^2-4x+1, & x \in (-\infty,1) \\ \frac{\ln x}{\sqrt{x}}, & x \in [1,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^e f(x) dx=2(4-\sqrt{e})$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_1^{e^{n+1}} f(x) dx = \frac{7}{3}$.