Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle X(a) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \\ 1 & a & a^2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(-1))=12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(X(a))=0$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4)$, $\displaystyle B(3,9)$ și $\displaystyle C(a,a^2)$, unde $\displaystyle a$ este număr natural. Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle ABC$ este triunghi și are aria mai mică decât $\displaystyle 3$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \frac{1}{1-3x}\begin{pmatrix} 1+3x & -3x \\ -3x & 1+3x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle M(x)$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

c) Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle x$ pentru care are loc egalitatea $\displaystyle M(\sqrt{x})M(\sqrt{x+5})=M(5)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că există un singur număr natural nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(mx)}{f(x)} = m^2-m$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2-ax+2a-4, & x \in (-\infty,2) \\ 2^{x-1}-2, & x \in [2,+\infty) \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4^x-1}{(1-2x)^2}=1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a < 3$, ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (1,3)$.