Se consideră matricea $\displaystyle X(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(3, 1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(a, b) \cdot X(c, d) = X(ac + 9bd, ad + bc)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, c, d$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle \det(X(m, n)) = 1$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = 2X^3 - 4X^2 - 7X + m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m = 9$, arătați că $\displaystyle f(1) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu $\displaystyle X + \sqrt{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că suma a două rădăcini ale polinomului $\displaystyle P$ este egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x - 1)e^x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt[n]{e^{n-1}} - \frac{n}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \geq 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: [2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x\sqrt{x - 2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 1}}e^x$ este egal cu $\displaystyle \pi$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\int_3^x \frac{f(t)}{t} dt}{x^2}$.