Exerciții — Bac Matematică

Subiectul I

5p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

ecuațiitrigonometrie

Determinați numărul real $\displaystyle a$ , pentru care ecuația $\displaystyle x\sqrt{3(x+1)}\cdot\sqrt{3(x+1)} - \sqrt{12} = 0$ are o singură soluție.

Subiectul I

5p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

funcții

Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ , pentru care graficul funcțiilor $\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x) = s(x+a)^2+s(x+a)$ se intersectează în cel puțin un punct de abscisă $\displaystyle x=1$ .

Subiectul I

5p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

ecuații

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x+1} = 1-\sqrt{x}$ .

Subiectul I

5p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

combinatorică

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au elementele mulțimii numerelor $\displaystyle M = \{0,1,2,3,4\}$ .

Subiectul I

5p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreptele $\displaystyle d_1$ , de ecuație $\displaystyle y = ax+2$ și $\displaystyle d_2$ , de ecuație $\displaystyle y = \frac{x}{4}+1$ . Determinați numărul real $\displaystyle a$ , știind că dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ sunt paralele.

Subiectul I

5p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

trigonometrie

Calculați $\displaystyle \sin(\pi - x) ".\cos(\pi + x) - \sin(\pi + x) ".\cos(\pi - x)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .

Subiectul al II-lea

15p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

matrici

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

5p

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle M(1)$ .

5p

b) Calculați $\displaystyle M(x) = M(2018) - M(-2018)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .

5p

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x) = s(x+a)^2+s(x+a)$ . Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$ , pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$ .

Subiectul al II-lea

15p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

funcțiilegi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x o y = 8(x+y+1)+1$ .

5p

a) Calculați $\displaystyle x o 8$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ .

5p

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ , pentru care $\displaystyle x o x = 1$ . Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$ , pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$ .

5p

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$ . Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$ , pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$ .

Subiectul al III-lea

15p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

derivatefuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+3}$ .

5p

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$ pentru orice $\displaystyle x eq \frac{1}{3}$ .

5p

b) Calculați $\displaystyle f(0) - \frac{1}{3}$ .

5p

c) Ecuația tangentei este $\displaystyle y - f(0) = f'(0)(x-0)$ , adică $\displaystyle y = \frac{1}{3}x + 1$ . Determinați intervalele de creștere/descreștere ale funcției $\displaystyle f$ .

Subiectul al III-lea

15p2018 · Sesiunea II · Șt. Naturii

integrale

5p

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x dx$ .

5p

b) Fie $\displaystyle F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o primitivă a lui $\displaystyle f(x) = x e^x$ . Demonstrați că $\displaystyle F'(x) = x e^x$ , pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ .

5p

c) Aflați aria A=\int_0^n x e^x dx= n e^n - e^n + 1.