Se consideră matricea $\displaystyle X(a) = \begin{pmatrix} a & 5 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(1))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(-a)+X(a)=X(2018)+X(-2018)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle (a,b)$ pentru care $\displaystyle X(a)X(b)=X(a)X(b)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-2X^2-X+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=2$, arătați că $\displaystyle f(2)=0$.

b) Arătați că, dacă polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X+1$, atunci polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X^2-3X+2$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \frac{x_1}{x_2x_3} + \frac{x_2}{x_1x_3} + \frac{x_3}{x_1x_2} = 6$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2+2x+1+\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - \ln x) dx = 11$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x} dx = \frac{3e^2+4e-4}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a$ are aria egală cu $\displaystyle a^3+a^2+a-2$.