Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & x \\ -1 & x-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-7$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(y)-A(x)=(y-x)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle (A(a-1)+A(a))A(0)=(A^2(a)+7)I_2$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3-6X+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=2$, arătați că $\displaystyle P(1)=-3$.

b) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $\displaystyle m$, polinomul $\displaystyle P$ nu se divide cu polinomul $\displaystyle X^2+X+1$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}\right)=\frac{6}{m}$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1-\ln x}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \le 1-\frac{1}{\sqrt{x}}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+1)f(x)\text{d}x = 4$.

b) Calculati $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x+1}\text{d}x$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x}{x^2+1}$ este egal cu $\displaystyle \frac{\pi}{n}$.