Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = xA + yI_3$.

c) Determinați inversa matricei $\displaystyle B = A + I_3$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x^{2 \log_2 y}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \circ 9 = 16$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ 3 = 25$.

c) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x-2} - x + 1 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sin x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} x f(x)dx = 1$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,\frac{\pi}{4}] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$.