Se consideră o progresie aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ de rație $\displaystyle 2$ și care are suma primilor $\displaystyle 10$ termeni egală cu $\displaystyle 150$. Determinați $\displaystyle a_1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-1$. Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ și care are abscisa egală cu dublul ordonatei.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x + \frac{1}{x} = 2$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea $\displaystyle H=\{0,1,2,3,4\}$, acesta să verifice egalitatea $\displaystyle 2^n + 5^n = 3^n + 4^n$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(-1,1)$, $\displaystyle N(2,1)$ și $\displaystyle P(2,4)$. Determinați lungimea înălțimii din $\displaystyle N$ a triunghiului $\displaystyle MNP$.

Se consideră triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ cu ipotenuza $\displaystyle BC=4$, punctele $\displaystyle D$ și $\displaystyle E$ mijloacele laturilor $\displaystyle AB$, respectiv $\displaystyle BC$. Știind că $\displaystyle DE=1$, calculați $\displaystyle m(\angle B)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 2xy - 6x - 6y + 21$. Calculați $\displaystyle 1 * 3$.

Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x*x=21$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*\sqrt{3} = x*\sqrt{2018}$.

Dați exemplu de numere $\displaystyle a,b \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ astfel încât $\displaystyle a*b=5$.

Calculați $\displaystyle \hat{1}+\hat{3}+\hat{5}+\hat{7}+\hat{9}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Calculați $\displaystyle \hat{2} \cdot \hat{8}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$ ecuația $\displaystyle \hat{3}x+\hat{2}=\hat{7}$.

Determinați simetricul elementului $\displaystyle \hat{4}$ în raport cu operația de adunare în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Determinați elementele simetrizabile în raport cu înmulțirea în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

Determinați mulțimea $\displaystyle M=\{x \in \mathbb{Z}_{10} | x^2+\hat{3}=\hat{0}\}$.