1. Arătați că $\displaystyle (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)-(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-2$. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle f(x)<4$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(x^2+3)=\log_2 30$.

4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $\displaystyle 1,2,3,4$ și $\displaystyle 5$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(2,3)$ și $\displaystyle N(-1,4)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle P$, simetricul punctului $\displaystyle N$ față de punctul $\displaystyle M$.

6. Calculați lungimea laturii $\displaystyle BC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle AB=8$ și $\displaystyle m(\angle C)=30^{\circ}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6$. 1. Arătați că $\displaystyle 1*2=2$.

2. Arătați că $\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*n \le n$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2^x*2^x)*2^x=10$.

6. Determinați numerele raționale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, știind că $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}=p+q\sqrt{3}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -2 & 4 \ -1 & 2 \ \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a)=I_2+aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot A=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ \end{pmatrix}$.

3. Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b)=M(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle t$, știind că $\displaystyle M(t) \cdot M(t^2)=M(90)$.

5. Arătați că inversa matricei $\displaystyle I_2-A$ este matricea $\displaystyle I_2-A$.

6. Rezolvați în $\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle (I_2+A)X=A-I_2$.