Arătați că $\displaystyle 2(\sqrt{3} - \sqrt{5}) + \sqrt{20} = 6$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^2 + a - 2$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle f(0) = 0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{3x-7} = x-3$.

După două ieftiniri succesive cu câte 50%, un tricou costă 10 lei. Calculați prețul inițial al tricoului.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(2,3)$ și $\displaystyle N(0,3)$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle MN$.

Calculați lungimea laturii $\displaystyle AB$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle BC = 15$ și $\displaystyle \sin C = \frac{3}{5}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y - 3$. Arătați că $\displaystyle 3 * (-4) = -4 * 3 = -4$.

Arătați că $\displaystyle 3 * (-4) = -4$.

Verificați dacă $\displaystyle e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție ",*."

Demonstrați că $\displaystyle (a + 1010) * (1010 - a) = 1010 * 1010$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 9 = 3^x * 9$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * (n+1) \leq 2$.

Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculați $\displaystyle det(M)$.

Calculați suma elementelor matricii $\displaystyle A(2017)$, unde $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2018 & x \\ x & 2021 \end{pmatrix}$.

Calculați $\displaystyle M \cdot M$ unde $\displaystyle M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

Arătați că inversa matricei $\displaystyle A(1)$ este aceasta $\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x-1 \end{pmatrix}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = a^2 I_2 + 2aM + M \cdot M$, unde $\displaystyle M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2$ este matricea unitate.

Determinați numărul natural $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle det(A(m)) < 4$, unde $\displaystyle A(m) = m^2 + 5m - 2$.