Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 0 & 2x-1 \ 0 & 1 & 0 \ 2x-1 & 0 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(1-x)=2A\left(\frac{1}{2}\right)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(1-x)=A\left(\frac{1}{2}\right)$.

Pe mulțimea $\displaystyle Z_{20}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\dots,\widehat{19}\}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+\hat{9}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3})$, pentru orice $\displaystyle x, y\in Z_{20}$.

b) Determinați $\displaystyle a\in Z_{20}$, știind că $\displaystyle a\circ x=\hat{0}$ pentru orice $\displaystyle x\in Z_{20}$.

c) Dați exemplu de $\displaystyle a,b\in Z_{20}\setminus\{\hat{17}\}$ pentru care $\displaystyle a\circ b=\hat{0}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^2-\sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{7}{2}$.

b) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2e^{2x^2-\sqrt{x}}\le\frac{3}{8}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\operatorname{arctg}x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(\operatorname{tg}x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1\frac{f(x)}{x^2+1}dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{n+2}\le\int_0^1 (x^n f(x))dx\le\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2(n+2)}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.