Determinați mulțimea numerelor complexe $\displaystyle z \in \mathbb{C}$, $\displaystyle z \neq 2i$, astfel încât $\displaystyle \frac{2z+i}{z-2i}$ este un număr real.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-2x^2$. Determinați valoarea lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle f(f(x))=x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2+1} = 3^{x+3}$.

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime din mulțimea cu elemente $\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}$, aceasta să conțină numai numere pare.

Se consideră mulțimea $\displaystyle \mathcal{M} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in \mathbb{Z}, ABCD=8, AD=4 \text{ și } BCD=9 \right\}$. Calculați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{v}=\vec{DC}+\vec{BM}$.

Se consideră $\displaystyle E(x) = \sin^3 x - \cos^3 x$, unde $\displaystyle x$ este un număr real. Arătați că numărul $\displaystyle E(\frac{\pi}{4})$ este egal cu $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a^2+a & a^2-a \\ a^2-a & a^2+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \sqrt{3x-2}-1, & x \leq 1 \\ \frac{2^2+\sin(x-1)+m}{x^2-1}, & x>1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R}$.