Se consideră matricea $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=2 \\ x-y+az=0 \\ x+y-az=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(-1))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(M(a))=0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ știind că sistemul este soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle 2x_0+y_0=0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - \frac{1}{10} (x+y) + \frac{1}{10}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x - \frac{1}{10})(y - \frac{1}{10}) + \frac{1}{10}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = \frac{101}{10}$.

c) Calculați $\displaystyle \log_2 1 * \log_2 2 * \log_2 3 * \dots * \log_2 2018$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^2 - 3x^2 - 6 \ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{6x^2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Demonstrați că valoarea minimă a funcției $\displaystyle f$ este $\displaystyle 0$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2+x+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{11}{6}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are exact două puncte de inflexiune.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x)dx = 1$.