a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(1)A(2)A(3)...A(10) = A(m^2+m+17)$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1) - P(-1)=12$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X-2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că toate rădăcinile polinomului $\displaystyle P$ sunt numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este perpendiculară pe axa $\displaystyle Oy$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f(x)dx=9$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{1}{2} + 2\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^4 f^n(x)dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le 4I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.