Se consideră matricea $\displaystyle M(m) = \begin{pmatrix} 2m & 1 & 1 \\ 1 & 2m & 1 \\ 1 & 1 & 2m \end{pmatrix}$ şi sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2mx+y+z=0 \\ x+2my+z=0 \\ x+y+2mz=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle m$, ştiind că $\displaystyle \det(M(m))=0$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, demonstrați că, dacă $\displaystyle (a,b,c)$ este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele $\displaystyle a, b$ şi $\displaystyle c$ este întreg.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 4xy + 3x + 3y + \frac{3}{2}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right) - \frac{3}{4}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = -\frac{3}{4}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle f(x) * f(y) = f(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$, unde $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=ae^x-\frac{3}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=8x^2-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(4x-1)(4x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că punctul $\displaystyle A\left(\frac{1}{2},3\right)$ aparține tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f\left(\frac{1}{3}\right) < f\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right) < f\left(\frac{1}{2}\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-3,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+3)f(x)dx=4$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2-3\ln \frac{4}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 e^x (x+3)^n f^n(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_n+2nI_{n-1}=e-5^n \cdot 3^n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 1$.