Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} x & y & 1 \\ 1 & x & y \\ y & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2,3)) = 12$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(n,n^2)) \ge 0$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care inversa matricei $\displaystyle B = A(x,0) \cdot A(x,0)$ este matricea $\displaystyle A(x,0)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^n + X^2 - nX - 1$, unde $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle n \ge 3$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 0$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 3$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle n$ este număr natural impar, $\displaystyle n \ge 3$, atunci polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X^2 - 1$.

c) Arătați că, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 5$, polinomul $\displaystyle f$ nu are rădăcini în mulțimea $\displaystyle \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \text{arctg } x - x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2}{x^2 + 1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + g(x) = \frac{\pi}{2}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \text{arctg } x + x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{-x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(\sqrt{x})}{e^{-x}} dx = \frac{e-1}{e}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_n^{n+1} f(x) dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.