Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 2 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2017+x) + A(2017-x) = 2A(2017)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(2) + mA(1)) = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2xy + 6x + 6y + 15$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 2(x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle 7 \ast 8 = 98 \ast 2017$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \ast x = 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+1 + \frac{1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$ și $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x \ln x$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x)-\ln x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)F(x)dx = \frac{e^2}{2}$.