Se consideră determinantul $\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \ a & 1 & 2 \ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle D(0)=-12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(a)=a^2$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1)$, $\displaystyle B(n+1,n)$, unde $\displaystyle n$ este număr natural și $\displaystyle C(1,3)$. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt vârfurile unui triunghi care are aria egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} -1 & x \ 2 & -3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(0)+A(2)=2A(1)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle (A(x)-xI_2)(A(x)+xI_2)=O_2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B=I_2+aA(1)$ este inversabilă, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+5}{x^2+x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} ((2x-1)f(x))$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x \in (-\infty,0] \\ \sqrt{3x+1}, & x \in (0,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că $\displaystyle f(-2) \cdot f(5)=-28$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ sunt numere reale astfel încât $\displaystyle (p+1)\cdot(q+1)<0$, atunci $\displaystyle f(p)\cdot f(q)<0$.