Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(B-A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -12 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A \cdot X = B$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = x+y-3$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x*x)*x=1$.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*n*n*n<3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3+2x^2+x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(x+1)(3x+1), x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^3} = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{4}{27}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2+x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle n^2-\frac{7}{3}$.