Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -13$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B - xI_2) = 0$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3+3X^2-X-3$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X-2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=11$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3-6x+4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le f(x) \le 8$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+5x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-5x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle \frac{127\pi}{3}$.