Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Se dă egalitatea $\displaystyle A \times B = A$.

a) Arătați că $\displaystyle A \times B = A$.

b) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle A \times B = A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle B \times A = A$ . d) Determinați matricea $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle A \times B - B \times A = O_2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1=3-3 \times 1 - 3 + 12 = 3$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \textrm{o} y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \textrm{o} y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \textrm{R} \rightarrow \textrm{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+6x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x^2+6x+2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x+2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -5 \le f(1)=9$, pentru orice $\displaystyle x \textrm{e} [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \textrm{R} \rightarrow \textrm{R}$, $\displaystyle f(x)=4x^3-x$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (4x^3-f(x))e^x dx = 1$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graful funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=3$.