Se consideră matricile $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Arătați că $\displaystyle 9(A+B) - (A \cdot B + B \cdot A) = 45I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle \det(A+xI_2)=0$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-3X^2-6X+8$.

a) Arătați că $\displaystyle f(2)=-8$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_1+1)^2+(x_2+1)^2+(x_3+1)^2=30$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x)dx = \frac{2}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x (x^2-f(x))dx$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{2}{3}$.