Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & x \\ 4 & 9 & x^2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(0)-A(1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=(x-2)(x-3)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))\le\det(A(0))$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 4xy-4x-4y+5$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 4(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle N=2016 \circ 2017$ este pătratul unui număr natural.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle a \circ b=13$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=x(2\ln x+1)$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1+2e \int_1^e f(x)/x^2 dx = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x, x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)e^{-x} dx = -\frac{1}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^3 f(x)dx \le 20$.