Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & x-1 \ 2 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(3))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)) - \det(A(y)) = \det(A(xy)) - \det(A(x)) \det(A(y))$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(1)) + \det(A(2)) + \dots + \det(A(n)) = n(n+1)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \ 0 & 8 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle A^2 - B^2$.

b) Arătați că $\displaystyle (A-I_2) \cdot (B-I_2) = \begin{pmatrix} 0 & 3 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X \cdot A = A \cdot X$ și $\displaystyle X \cdot B = B \cdot X$, atunci $\displaystyle X \cdot Y = Y \cdot X$, pentru orice $\displaystyle Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+ax+6}{x+1}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle a=7$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care dreapta de ecuație $\displaystyle y=x+2$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$, funcția $\displaystyle f$ nu admite asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2mx, & x \in (-\infty, -2) \\ 2-x^2, & x \in [-2, + \infty) \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m=1$, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle f(x)=0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (f(x)-2x)$.