Se considera matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} x+1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A(0)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle A(x) + A(2x) = 2A(2)$.

c) Punctele $\displaystyle M(n,n+1)$, $\displaystyle N(2,n)$ și $\displaystyle P(3,0)$ sunt coliniare.

Se considera polinomul $\displaystyle f=X^3+aX^2+X-1$, a\tinând că $\displaystyle f(1)=4$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

a) Calculați $\displaystyle f(-1)$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2+X+1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1+x_2+x_3 = -1$, $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = -1$, și $\displaystyle x_1x_2x_3 = -1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se considera funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$, $\displaystyle x \ne 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = e^2+2x$.

Se considera funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x^2}+2x$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = e^x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^a f(x)dx = 1 + \frac{2a^3}{3}$.