Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2x+5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=A(2017)+A(-2017)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, pentru care $\displaystyle A(0) \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+6x+6y+30$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x+6)(y+6)-6$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle e=-5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (-2017) = 2017 \circ (-6)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x^2} + \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x}{2} + \ln x \ge 1 + \ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2}{2x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 2xf(x)dx = \frac{13}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care $\displaystyle F(1)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2 \int_1^n (f(x)+xf'(x))dx = n^2-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.