Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 0 & x \\ x & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = xyI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(3^a)A(3^{a+1}) = A(27)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + mX^2 + 2X - 4$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle f(1) = 0$.

b) Arătați că, dacă polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X+2$, atunci restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la $\displaystyle X-3$ este egal cu $\displaystyle -1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_2x_3} + \frac{1}{x_3x_1}$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+2017}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-(x+2016)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [-2015, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)f(x)dx = \frac{4}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, știind că $\displaystyle F(1) = \frac{\pi}{4}+1$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_0^n x f(x^2)dx = \ln 5$.