Arătați că $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 3 = \frac{28}{9}$.

Arătați că $\displaystyle f(1) = m - f(-1) = 4$ pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x+m$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x^2+3} = 4^{2^x}$.

Prețul unui obiectului este 1200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 5%.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,6)$ și $\displaystyle B(2,3)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la punctul $\displaystyle C$, unde $\displaystyle C$ este simetricul punctului $\displaystyle A$ față de punctul $\displaystyle B$.

Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle B) = 45^\circ$ și $\displaystyle AB = AC = 2$.

Arătați că $\displaystyle 2000*17 = 2017 - 2017 = 0$.

Arătați că $\displaystyle x*(y*z) = (x*y)*z$ pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$, dacă legea de compoziție, ** , este asociativă.

Demonstrați că $\displaystyle a*(a+2017) = (a+1009)*(a+1008)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle 4^{x^2} = 4^{2^x-2011}$.

Determinați cel mai mic număr natural $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle n*n otin [n, n+2017]$.

Arătați că numărul $\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ este întreg.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculați determinantul lui $\displaystyle A$.

Demonstrați că inversa matricei $\displaystyle A$ este matricea $\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle A-3I_2 = 2A^{-1}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle det(A-xI_2) = 2$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle det(A \times A - 6I_2) = a$.

Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, pentru care $\displaystyle A \times X = X \times A$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} p & q \\ q & 2 \end{pmatrix}$.